fn main() {

    let str = "/app/dima/var/test_log.stat.json";  
    //cut "/app/dima/var/"
     let slice = &str[14..];
    //cut ".stat.json"
     let len = slice.len() - 10;
    let substr = &slice[..len];  
    
     println!("{}", substr);
}

Логика такая:

1. сначала удаляем путь — он содержит в данном случае постоянную длину.
2. удаляем путь
3. вычисляем длину строки
4. удаляем длину подстроки .stat.json

Пример работающего кода